مجموعات هوموتوبي من المجالات

في المجال الرياضي من طوبولوجيا جبري، مجموعات هوموتوبي من المجالات تصف كيف يمكن أن مجالات مختلف الأبعاد التفاف حول بعضها البعض. وهي أمثلة على الثوابت الطوبوغرافية، والتي تعكس، من الناحية الجبرية، بنية المجالات التي ينظر إليها على أنها مساحات طوبولوجية، نسيان هندستها دقيقة. على عكس مجموعات التماثل، والتي هي أيضا الطوبوغرافية المتغيرات، ومجموعات هوموتوبي معقدة بشكل مدهش وصعبة لحساب.

إن مجال وحدة n-ديمنزيونال - يسمى n-سفير للإيجاز، ويشار إليه باسم سن - يعمم الدائرة المألوفة (S1) والمجال العادي (S2). ويمكن تعريف n-سفير هندسيا على أنها مجموعة من النقاط في مسافة الإقليدية البعد n + 1 تقع على مسافة وحدة من الأصل. وتلخص المجموعة i-ث هوموتوبي πi (سن) الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها رسم خريطة i-ديمنزيونال سي بشكل مستمر في المجال n-ديمنزيونال سن. هذا الملخص لا يميز بين تعيينين إذا كان يمكن تشويهها بشكل مستمر إلى الآخر. وبالتالي، يتم تلخيص فئات التكافؤ فقط من التعيينات. عملية "إضافة" المعرفة على هذه الطبقات التكافؤ يجعل مجموعة من فئات التكافؤ في مجموعة أبيليان.

وتقع مشكلة تحديد πi (سن) في ثلاثة أنظمة، اعتمادا على ما إذا كان أقل من أو يساوي أو أكبر من n.

بالنسبة إلى 0 <i <n، فإن أي رسم خرائط من سي إلى سن هو هوموتوبيك (أي تشوه مستمر) إلى رسم ثابت، أي رسم خرائط يرسم كل سي إلى نقطة واحدة من سن. ولذلك فإن مجموعة هوموتوبي هي مجموعة تافهة.
عندما i = n، كل خريطة من سن لنفسها لديها درجة أن يقيس كم مرة يتم ملفوفة المجال حول نفسها. هذه الدرجة تحدد مجموعة هوموتوبي πn (سن) مع مجموعة من الأعداد الصحيحة تحت الإضافة. على سبيل المثال، كل نقطة على دائرة يمكن تعيينها بشكل مستمر على نقطة من دائرة أخرى. حيث يتم نقل النقطة الأولى حول الدائرة الأولى، النقطة الثانية قد دورة عدة مرات حول الدائرة الثانية، اعتمادا على رسم الخرائط معين.
النتائج الأكثر إثارة للاهتمام والمثيرة للدهشة تحدث عندما i> n. وكانت أول مفاجأة من هذا القبيل هي اكتشاف رسم خرائط يدعى هبف فيبراتيون، الذي يلتف المجال 3 S3 حول المجال المعتاد S2 بطريقة غير تافهة، وهكذا لا يعادل رسم نقطة واحدة.
وقد تبين أن مسألة حساب مجموعة هوموتوبي πn + k (سن) ل K إيجابية لتكون مسألة مركزية في طبولوجيا جبري التي ساهمت في تطوير العديد من التقنيات الأساسية، وكان بمثابة التركيز محفزة للبحوث. واحدة من الاكتشافات الرئيسية هي أن المجموعات هوموتوبي πn + k (سن) مستقلة عن ن ل ≥ ك + 2. وتسمى هذه المجموعات هوموتوبي مستقرة من المجالات وقد تم حسابها لقيم ك تصل إلى 64. مستقرة مجموعات هوموتوبي تشكل حلقة معامل لنظرية كومولوغي استثنائية، ودعا نظرية كوهوموتوبي مستقرة. المجموعات هوموتوبي غير مستقرة (ل n <k + 2) هي أكثر انتظاما. ومع ذلك، فقد تم جدولة ل k <20. معظم الحسابات الحديثة تستخدم تسلسل طيفي، وهي تقنية تطبق لأول مرة على مجموعات هوموتوبي من المجالات من قبل جان بيير سيري. وقد وضعت عدة أنماط هامة، ومع ذلك لا يزال الكثير غير معروف وغير مبرر.